Contoh Soal Operasi Aljabar Jumlah Kurang Kali Bagi Pangkat²±×÷

Operasi hitung aljabar sebenarnya sangat simpel dan tidak rumit. Asalkan kita mau memahaminya secara simpel juga.

Saat kak Hinda masih SMP dulu, guru kak Hinda menjelaskan penjumlahan aljabar dengan cara seperti ini:

‘3 ayam ditambah 3 bebek sama dengan?’

Banyak siswa yang menjawabnya dengan 6.

Tapi kak Hinda justru diam, apa iya ayam dan bebek bisa dihitung secara bersama-sama. Kan mereka beda bentuk, beda telur, beda bulu, dll. Maklum, kak Hinda anak seorang peternak ayam.

Kalau teman-teman bagaimana? Apakah akan langsung menjawab enam?

Nah, bagaimana dengan pertanyaan ini.

‘1 botol ditambah 1 laptop sama dengan?’

Tidak mungkin dua ya, karena botol dan laptop adalah benda yang berbeda. Punya fungsi yang berbeda, bentuk dan semua cirinya berbeda.

Inilah salah satu ilmu dasar dalam operasi hitung aljabar, khususnya penjumlahan. Dengan bekal ini, teman-teman bisa memahami materi aljabar dengan lebih mudah.

Operasi hitung aljabar lengkap: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan

Kakak akan mengajak teman-teman untuk membahas operasi hitung bentuk aljabar secara bertahap agar mudah.

1. Penjumlahan

Seperti yang sudah kakak jelaskan sebelumnya, laptop sama botol tidak bisa dijumlahkan secara langsung.

Jika laptop dimisalkan l. Dan botol adalah b.

Maka kalimat matematika dari:

‘1 botol ditambah 1 laptop sama dengan?’

Adalah

b + l

Berikut adalah penjelasan detail mengenai penjumlahan:

1. Cara mengerjakan

Operasi hitung penjumlahan pada aljabar dilakukan dengan menjumlahkan koefisien antara suku yang sejenis.

• Koefisien

Diketahui sebuah persamaan:

2x + y + 8x – 6 = 0

Yang dimaksud koefisien adalah bilangan yang ada di depan variabel (x dan y). Silakan baca tentang sistem persamaan linear untuk memantapkan pemahaman.

• Suku sejenis

Dari contoh di atas, jika disuruh menentukan mana suku-sukunya. Apakah teman-teman tahu?

Suku-sukunya adalah:

2x, y, 8x, dan -6

Nah, yang dimaksud dengan suku sejenis adalah 2x dan 8x. Dua suku ini sama/sejenis. Hanya koefisiennya saja yang berbeda.

Jadi, jika contoh di atas dijumlahkan, hasilnya akan menjadi:

2x + y + 8x – 6 = 0

2x + 8x + y – 6 = 0

10x + y = 6

2. Contoh soal dan pembahasan

Tentukan hasil penjumlahan dari soal berikut!

• 2x + 6y + 3x
• 4a + 2b + a
• 6p + q + 2q

Pembahasan:

• 2x + 6y + 3x = 2x + 3x + 6y = 5x + 6y
• 4a + 2b + a = 4a + a + 2b = 5a + 2b
• 6p + q + 2q = 6p + 3q

2. Pengurangan

Pengurangan pada bentuk aljabar pada dasarnya sama dengan penjumlahan. Bedanya kita menjadi selisihnya saja.

1. Cara mengerjakan

Operasi hitung pengurangan pada aljabar dilakukan dengan mengurangkan atau mencari selisih koefisien antara suku yang sejenis.

• Koefisien

Diketahui sebuah persamaan:

2c – d – 5c

Yang dimaksud koefisien adalah bilangan yang ada di depan variabel (c dan d), yakni 2, -1, dan -5.

• Suku sejenis

Dari contoh di atas, jika disuruh menentukan mana suku-sukunya. Apakah teman-teman tahu?

Suku-sukunya adalah:

2c, d, dan 5c

Nah, yang dimaksud dengan suku sejenis adalah 2c dan 5c. Dua suku ini sama/sejenis. Hanya koefisiennya saja yang berbeda sehingga bisa dicari selisihnya.

2. Contoh soal dan pembahasan

Tentukan hasil pengurangan dari …

• 2x – y – 4x = …
• 5p – q – 3p = …
• 26a – 4b – 5a = …

Pembahasan:

• 2x – y – 4x = 2x – 4x – y = -2x – y
• 5p – q – 3p = 5p – 3p – q = 2p – q
• 26a – 4b – 5a = 26a – 5a – 4b = 21a – 4b

3. Kombinasi (penjumlahan dan pengurangan)

Nah, sekarang kak Hinda akan mengajak teman-teman untuk berlatih beberapa contoh soal yang didalamnya mengandung penjumlahan dan pengurangan.

1. Contoh soal

• • 2p + 2q – 3p – q =
  • 3a – 6b + 2a – 4b =
  • 2a² + 3b – 4a² + 7b =

Pembahasan

• • 2p + 2q – 3p – q = 2p – 3p + 2q – q = p + q
  • 3a – 6b + 2a – 4b = 3a + 2a – 6b – 4b = 5a – 10b
  • 2a² + 3b – 4a² + 7b = 2a² – 4a² + 3b + 7b = -2a² + 10b

2. Tips

• Kelompokkan suku sejenisnya dulu.
• Pastikan untuk memperhatikan tanda positif dan negatif. Koefisien itu termasuk tanda di depannya. Jadi tanda jangan sampai dipisahkan ya?
• Jumlahkan/kurangkan dengan benar.

4. Perkalian

Setelah belajar dua operasi penjumlahan dan pengurangan pada aljabar, sekarang kita masuk pada materi perkalian. Caranya hampir sama saja dengan mengalikan dan membagi pada bilangan bulat.

Jadi dengan bekal yang cukup tentang operasi hitung pada bilangan bulat, akan sangat mudah menyelesaikan operasi ini;

1. Cara mengerjakan

Cara mengerjakan soal perkalian, teman-teman harus mengalikan semua komponennya. Tidak hanya bagian koefisien seperti pada penjumlahan dan pengurangan.

2. Sifat-sifat perkalian aljabar

Dalam perkalian aljabar, berlaku sifat-sifat di bawah ini:

• Distributif
  • x (y + z) = xy + xz
  • x (y – z) = xy – xz
• Komutatif
  • xy = yx
• Asosiatif
  • xyz = (xy)z = x (yz)

3. Contoh soal dan pembahasan

Untuk memahami ketiga sifat di atas, silakan cek contoh di bawah ini:

• Perkalian satu bilangan dengan suku dua atau lebih

Mengerjakan soal semacam ini biasanya digunakan sifat distributif.

Contoh 1

5 (b + c) = 5b + 5c

Keterangan lebih detail, lihat pada gambar;

Contoh lainnya

1. 1. 5 (2p – q) = 10p – 5q
   2. p (4 – 2p) = 4p – 8p²
   3. x (x² – 5x + 8) = x. x² – x.5x + x.8 = x³ – 5x² + 8x

• Perkalian suku dua dengan suku dua

Contoh

1. 1. (x – 6) (2x – 3) = 2x² – 15x + 18

Penjelasan detail lihat pada gambar;

1. 2. (x + 1) (2x + 6) = 2x² + 6x + 2x + 6 = 2x² + 8x + 6
   3. (2x – 1) (x + 3) = 2x³ + 5x – 3
   4. (p – 4q) (p – 6q) = p² – 10pq +24q²

Penjabaran:

Itulah beberapa contoh untuk memahami perkalian aljabar. Lantas bagaimana dengan perkalian dengan persamaannya sendiri.

Misalnya (x + 3) (x + 3) = …

Ini merupakan operasi pangkat dalam aljabar. Akan kak Hinda bahas di bawah setelah membahas pembagian pada aljabar.

5. Pembagian

Pembagian pada aljabar menjadi pertanyaan yang cukup banyak keluar saat ujian. Apakah teman-teman masih bingung dengan materi ini?

1. Cara mengerjakan

Ada beberapa langkah yang bisa teman-teman ikuti saat mengerjakan soal pembagian pada aljabar, yaitu:

• Membuat bentuk pembagian menjadi pecahan.
• Penyebut dalam pecahan itu adalah pembaginya.
• Setelah itu, tentukan faktor persekutuan dari masing-masing bentuk aljabarnya.
• Cari faktor yang sama antara pembilang dan penyebut, kemudian dibagikan atau biasanya dicoret.

2. Contoh

Masih bingung?

Kak Hinda kasih contoh ya?

1. 4x : 4 = 4x / 4 = x
2. 10p : 5p = 10p / 5p = 2.5p/5p = 2
3. (2x² – 5x – 12) : (4x² – 9)

Untuk menjawab soal nomor 3, perhatikan langkah di bawah ini:

• • Ubah soal dalam bentuk pecahan

• • Faktorkan (cari faktor persekutuan)

Faktorkan pembilang dan penyebutnya, lihat gambar di bawah ini:

• • Hitung

Perhatikan perhitungan di bawah ini, ada satu faktor yang sama yang kemudian bisa dicoret dan menghasilkan persamaan yang paling sederhana.

Dalam gambar di atas, faktor yang sama dan bisa dicoret (jika dibagikan sama dengan 1) adalah (2x + 3)

4. (6x² + x – 5) : (x + 1)

Lakukan langkah penyelesaian seperti contoh soal nomor 3. Maka akan didapatkan penyelesaian seperti di bawah ini:

5. 6p²q : pq =

Berikut adalah penyelesaiannya:

Keterangan: jika kita lihat dalam penyelesaian di atas, pembilang sudah dalam bentuk operasi perkalian. Sehingga bisa langsung dikerjakan.

Bagaimana? Cukup mudah, bukan?

3. Tips mengerjakan soal pembagian pada aljabar

Operasi hitung pembagian pada aljabar biasanya keluar dalam soal ujian. Baik itu ujian nasional, ujian sekolah, kuis, atau pun yang lain.

Nah, yang paling banyak keluar biasanya adalah yang pakai kuadrat atau soal yang sebenarnya simpel tapi terlihat rumit.

Berikut ini adalah tips supaya mengerjakan soal pembagian menjadi lebih mudah:

• Kuasai dulu materi pemfaktoran.
• Cari dulu faktor yang sama kemudian dicoret atau dibagi.
• Telitilah dengan tanda (operasi perkalian atau penjumlahan).
• Ingat! Hanya operasi perkalian yang bisa dicoret atau dibagi.
• Jika sudah dalam bentuk perkalian, baru bisa dibagi atau dicoret.

Oleh karena itu, untuk mengerjakan soal pembagian, teman-teman disarankan untuk mengubah bentuk aljabar yang operasinya penjumlahan menjadi perkalian.

Misalnya dengan mengeluarkan suku-suku sejenis atau dengan pemfaktoran.

Perpangkatan

Materi ini merupakan materi tambahan yang ingin kak Hinda sampaikan karena berhubungan erat dengan perkalian.

Karena biasanya materi perpangkatan ini berkenaan dengan pola, maka kak Hinda buat dalam satu sub bab terpisah.

• Cara mengerjakan

Sebagaimana yang kita bahas di atas dalam sub bab perkalian, bagaimana dengan perkalian:

(x + 3) (x + 3)

Cara mengalikannya sama seperti yang kakak jelaskan di atas.

Yakni (x + 3) (x + 3) = x² + 6x + 9

Lalu bagaimana dengan:

(a + 4)²= (a + 4) (a + 4) = a² + 8a + 16

Apakah teman-teman sudah melihat polanya?

• Pola dan contoh penerapan

Berikut adalah polanya supaya teman-teman bisa mengerjakan soal dengan cepat.

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x – y)² = x² – 2xy + y²

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³

Untuk keempat pola di atas, mari kita langsung belajar dengan contoh:

(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9

(x + 6)³ = x³ + 18x² + 108x + 216

Tentunya dengan memakai pola yang sudah disebutkan di atas.

• Konsep dan rumus perpangkatan pada bentuk aljabar

Agar tidak kesulitan dalam mengerjakan soal perpangkatan, teman-teman harus tahu sifat, konsep, dan rumus perpangkatan berikut ini:

Untuk x, y bilangan real. x dan y tidak nol. p dan q adalah bilangan bulat, sifat-sifat di bawah ini berlaku:

• • (x^p)^q = x^pq
  • (x^p . y^p)^q = (x.y)^q
  • (x.y)^p = x^p . y^p
  • x^p.x^q = x^p+q
  • x^p : x^q = x^p-q

Rumus di atas adalah pengingat, agar teman-teman bisa mengerjakan konsep perpangkatan dengan mudah. Sebab biasanya juga muncul.

• Soal Latihan

  1. (3x – 2) (4x – 5) =
  2. (3x – 7) (2x – 5) =
  3. (2x + 3y) (px + qy) = rx² + 23xy + 12y² . Berapakah nilai r?
  4. (3x – 4)² =
  5. (2x – 6)³ =
  6. p³ : p⁴ =
  7. 3p² . p³ =

Kakak akan memberikan pembahasan secara ringkas untuk soal latihan di atas:

Pembahasan

• 1. (3x – 2) (4x – 5) = 12x² -23x + 10
  2. (3x – 7) (2x – 5) = 6x² – 29x + 35
  3. (2x + 3y) (px + qy) = 2px² + 3pxy + 2qxy + 3qy² = 2px² + xy (3p + 2q) + 3qy²

2px² + xy (3p + 2q) + 3qy² = rx² + 23xy + 12y²

3q = 12, q = 4

3p + 2q = 23

3p = 23 – 2.4

3p = 23 – 8

3p = 15

p = 5

r = 2p

r = 2.5

r = 10

1. 4. (3x – 4)² = 9x² – 24x + 16
   5. (2x – 6)³ = (2x – 6)² (2x – 6) = (4x² – 24x + 36) (2x – 6)

= 8x³ – 24x² – 48x² + 144x + 72x – 216

= 8x³ – 72x² + 216x – 216

Atau dikerjakan pakai pola:

(p – q)³ = p³ – 3p²q + 3pq² – q³

(2x – 6)³, p = 2x dan q = 6

p³ – 3p²q + 3pq² – q³ = 8x³ – 72x² + 216x – 216

1. 6. p³ : p⁴ = p³ / p⁴ = p^3-4 = p^-1 = 1/p
   7. 3p² . p³ = 3.p²⁺³ = 3p⁵

Materi ini biasanya diajarkan di kelas 7 SMP/MTs. Meski demikian akan terus dipakai dalam pengerjaan soal-soal Matematika berikutnya. Misalnya di kelas 8 SMP/MTs, atau bahkan ujian nasional saat di kelas 9 SMP/MTs.

Untuk itu, teman-teman tidak boleh lupa sama materinya. Kalau kak Hinda dulu tidak pernah menghafalkan rumus. Akan tetapi memahami materi dengan sering berlatih.

Mengetahui polanya, memakai analoginya dalam kehidupan.

Sehingga ketika ada soal aljabar kak Hinda lebih siap dalam menjawabnya. Tidak perlu buka-buka buku lagi untuk cek rumus. Karena sudah paham.

Kakak yakin, jika teman-teman mau berlatih perlahan. Step by step. Sering mengerjakan soal aljabar juga bisa memahami materi ini dengan mudah, kok!

Jadi semangat ya teman-teman.

Kak Hinda harap semoga materi tentang operasi hitung pada aljabar, yakni penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, hingga perpangkatan dan sifat-sifat operasinya berguna buat teman-teman.

Salam.