Himpunan Kosong, Semesta, Bagian (Sejati), Operasi + Contoh

Dalam kesempatan berikut kak Hinda akan mengajak semuanya untuk belajar tentang himpunan secara menyeluruh. Mulai dari pengertian sampai jenisnya yaitu himpunan semesta, himpunan bagian, dan himpunan bagian sejati.

Teman-teman semua bisa mulai dengan tahu dulu, apa itu himpunan?

Himpunan

1. Pengertian Himpunan
   

Himpunan adalah kumpulan obyek atau benda yang bisa didefinisikan atau diartikan dengan jelas (secara bersama-sama). Atau bisa juga diartikan sebagai berikut;

Himpunan adalah sekelompok objek atau benda yang ada dalam satu kesatuan (memiliki kesamaan tertentu).

Benda atau obyek yang ada dalam himpunan didefinisikan atau disebut sebagai anggota himpunan.

menurut sumber ini, teori himpunan ini ditemukan oleh George Cantor.

2. Contoh
   

Secara sederhana kita bisa memahami himpunan dengan cara sebagai berikut;

• Himpunan huruf vokal, anggota himpunannya adalah a, i, u, e, dan o.
• Himpunan warna dasar, anggotanya adalah kuning, merah, dan biru.

Lalu, apa yang bukan himpunan?

Contohnya adalah;

• Kumpulan baju bagus
• Kumpulan minuman segar

Apa perbedaan contoh-contoh di atas?

Ketika kita menyebut kumpulan baju bagus, maka definisi masing-masing orang akan berbeda. Ada yang menyebut baju bagus itu karena warnanya yang bagus. Ada yang menyebut baju bagus yang mahal harganya. Ada pula yang mengartikan baju bagus dari kualitas kainnya.

Relatif.

Setiap orang punya favorit masing-masing.

3. Notasi Himpunan
   

Notasi himpunan atau simbol atau lambang himpunan adalah huruf kapital seperti: A, B, C, … atau ditulis himpunan A, himpunan B, himpunan C, dst.

Sedangkan benda yang termasuk ke dalam anggota himpunan ditulis di antara dua kurung kurawal seperti ini:

{…}

Untuk menyatakan bahwa satu obyek merupakan anggota himpunan digunakan notasi Є. Sebaliknya, jika bukan anggota himpunan, simbol tersebut dicoret miring.

Nah, kalau contoh himpunan di atas ditulis sesuai notasi himpunan akan menjadi:

Misal A adalah himpunan huruf vokal, maka:

A = {a, i, u, e, o}

Misal B adalah himpunan warna dasar, maka:

B = {kuning, merah, biru}

4. Banyaknya anggota suatu himpunan

Banyaknya anggota suatu himpunan dinyatakan dengan huruf n (kecil).

Perhatikan contoh berikut!

Contoh 1

C adalah himpunan bilangan asli kurang dari 7.

Maka anggotanya adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6.

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Artinya n(C) = 6.

Contoh 2

D adalah himpunan nama presiden Indonesia.

Maka anggotanya adalah Soekarno, Soeharto, BJ Habibie, Abdurrahman Wahid, Megawati Soekarno Putri, Susilo Bambang Yudhoyono, Joko Widodo.

D = { Soekarno, Soeharto, BJ Habibie, Abdurrahman Wahid, Megawati Soekarno Putri, Susilo Bambang Yudhoyono, Joko Widodo}

Artinya n(D) = 7.

Himpunan kosong

Setelah memahami materi umum tentang himpunan, maka kini saatnya kita belajar tentang macam-macam himpunan. Salah satunya adalah mengenal himpunan kosong.

1. Pengertian himpunan kosong
   

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota. Anggotanya kosong.

2. Notasi
   

Himpunan kosong dinotasikan dengan { } atau Ø.

3. Contoh

P adalah himpunan bilangan prima kurang dari 2.

Maka dari itu P dalam notasi himpunan adalah P = { }.

Karena bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, …

Himpunan semesta

Selanjutnya, kita juga harus mengenal himpunan semesta. Berikut adalah penjelasan detailnya:

1. Pengertian himpunan semesta
   

Himpunan semesta dapat diartikan sebagai sebuah himpunan yang di dalamnya terdapat himpunan-himpunan lain.

Bisa juga disebut sebagai himpunan yang memuat semua objek atau anggota himpunan yang sedang dibicarakan.

2. Notasi

Himpunan semesta dinotasikan dengan huruf S (kapital) atau U (kapital). Seperti:

S adalah himpunan bilangan bulan positif.

3. Contoh

Diketahui P adalah himpunan bilangan prima kurang dari 13. Maka himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan P adalah …

Jika dituliskan dalam bentuk notasi himpunan, P = {2, 3, 5, 7, 11}

Maka dari itu, himpunan semesta yang mungkin / memenuhi untuk P adalah himpunan bilangan cacah, bilangan asli, atau bilangan prima. Sebab ketiganya memuat semua anggota himpunan P.

Jika dituliskan dalam notasi himpunan, akan menjadi:

S = {bilangan prima} atau S = {bilangan cacah} atau S = {bilangan asli}

S = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} atau

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} atau

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Pelajari Juga: Materi Deret Geometri

Himpunan bagian

Himpunan bagian disebut juga subset. Kali ini, Kak Hinda akan mengajak kalian untuk mengenal pengertian, notasi, contoh, dan cara menghitung himpunan bagian dari sebuah himpunan.

1. Pengertian himpunan bagian
   

Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari B jika setiap unsur dalam himpunan A merupakan unsur dari himpunan B.

Atau bisa diartikan sebagai:

A dikatakan sebagai subset dari B jika A termuat di dalam B.

2. Notasi

A himpunan bagian B dinotasikan sebagai ; A ⊂ B

Sedangkan untuk menyatakan A bukan himpunan bagian B dinotasikan sebagai;A ⊄ B

3. Pengertian atau definisi matematis

Jika A ⊂ B, maka untuk setiap x ϵ A berlaku x ϵ B.

Sebaliknya, jika x ϵ B belum tentu x ϵ A.

Jika digambarkan dalam bentuk diagram venn, maka himpunan A berada di dalam lingkaran himpunan B. Berikut gambarnya;

Atau sebaliknya dengan B di bagian dalam dari lingkaran himpunan A, jika B merupakan himpunan bagian dari A atau B ⊂ A . Berikut gambarnya:

4. Rumus banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan

Untuk menghitung banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan, Anda bisa menggunakan rumus himpunan bagian di bawah ini:

N = 2ⁿ

Keterangan:

N adalah banyaknya himpunan bagian A.

n adalah banyaknya (jumlah) anggota himpunan A.

Misalnya:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Berapakah banyaknya himpunan bagian A?

Maka bisa langsung dijawab menggunakan rumus:

N = 2ⁿ

N = 2⁵

N = 32

Selain menggunakan rumus di atas, mencari banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan bisa dilakukan dengan cara membuat segitiga pascal.

Keterangan:

Jika diminta untuk menyebutkan masing-masing anggota himpunan bagiannya, gunakanlah cara berikut:

• Angka 1 di bagian depan untuk himpunan kosong.
• Angka selanjutnya adalah untuk himpunan bagian yang jumlah anggotanya adalah 1.
• Angka selanjutnya adalah untuk himpunan bagian dengan jumlah anggota 2.
• Angka selanjutnya adalah untuk himpunan bagian dengan jumlah anggota 3.
• Angka selanjutnya adalah untuk himpunan bagian dengan jumlah anggota 4.
• Dan seterusnya tergantung jumlah anggota himpunan (n).

Untuk menjelaskan tentang hubungan himpunan bagian dan segitiga pascal ini, silakan simak contoh di bawah ini.

Misalnya A = {a, b, c}

Maka dari data di atas diketahui bahwa n = 3, maka kalau pakai rumus, kita bisa langsung tahu bahwa banyaknya himpunan bagiannya adalah:

N = 2³

N = 8

Namun, jika diminta untuk menyebutkan apa saja himpunan bagiannya, kita bisa menggunakan segitiga pascal. Caranya adalah sebagai berikut;

Karena n = 3, maka rumus segitiga pascal yang kita gunakan adalah:

1 3 3 1

• Angka 1 paling depan untuk himpunan kosong = Ø
• Angka 3 untuk himpunan dengan jumlah anggota 1, yaitu:
  • {a}, {b}, {c}
• Angka 3 selanjutnya untuk himpunan dengan jumlah anggota 2, yaitu:
  • {a, b}, {a, c}, {b, c}
• Angka 1 paling akhir untuk himpunan dengan jumlah anggota 3, yaitu:
  • {a, b, c}

Jadi, jika dituliskan semuanya, himpunan bagian dari himpunan A = {a, b, c} adalah:

Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}

Total ada 8 himpunan bagian.

Catatan:

Dari contoh himpunan bagian di atas kita tahu bahwa setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri.

Dalam contoh di atas kita melihat {a, b, c} yang merupakan himpunan A adalah himpunan bagian dari A sendiri.

5. Himpunan bagian sejati

Suatu himpunan dikatakan himpunan bagian sejati terhadap himpunan lainnya jika semua anggota himpunan tersebut merupakan anggota himpunan lainnya. Namun, ada satu atau lebih anggota himpunan lainnya yang bukan merupakan anggota himpunan tersebut.

P merupakan himpunan bagian sejati Q jika semua anggota himpunan P adalah himpunan Q. Dan ada satu atau lebih anggota himpunan Q yang bukan anggota himpunan P.

Contoh:

P = {a, b, c}

Himpunan bagian P adalah { }, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, {a, b, c}

Himpunan bagian sejati dari P adalah { }, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}

Dari contoh di atas kita bisa melihat bahwa setiap himpunan memiliki satu atau lebih himpunan bagian sejati.

Sedangkan untuk himpunan kosong, dia tidak memiliki himpunan bagian sejati. Sebab himpunan bagian dari himpunan kosong adalah dirinya sendiri.

Operasi himpunan

Agar tidak terlalu melebar, pembahasan operasi himpunan yang akan kak Hinda bahas adalah irisan, gabungan, komplemen, dan selisih.

1. Irisan

Secara simpel, irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagian atau objeknya menjadi anggota dari keduanya.

Dengan kata lain, ada objek atau anggota yang merupakan anggota himpunan pertama dan kedua.

Irisan himpunan dinotasikan dengan ‘∩’.

Misalnya:

A irisan B, ditulis menjadi A ∩ B.

Untuk memahami irisan dengan mudah, silakan perhatian contoh berikut:

Misal:

A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan A ∩ B =

Jawaban:

A ∩ B = {2, 3, 5}

2, 3, dan 5 adalah anggota himpunan A yang juga merupakan anggota himpunan B. Inilah yang disebut irisan A ∩ B. Yang mana 2, 3, 5 merupakan anggota keduanya.

Jika dinyatakan dalam diagram venn, A ∩ B adalah:

2. Gabungan

Ada irisan tentu ada gabungan. Gabungan dua himpunan adalah penggabungan anggota-anggota yang ada dalam dua himpunan, tidak termasuk himpunan semesta.

Gabungan dinotasikan dengan: ‘U’

Atau untuk menyatakan himpunan A gabungan himpunan B, ditulis: A U B

Misalnya:

Diketahui:

S adalah himpunan alfabet dari a-z

A = {a, b, c, d}

B = {c, d, e, f, g, h}

Tentukan A U B!

Jawaban:

A U B adalah gabungan dari dua himpunan A dan B. Untuk anggota himpunan yang sama antara A dan B, ditulis satu kali saja.

A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}

Anggota semesta lainnya bukanlah anggota A U B.

Catatan penting:

Kadang saat kita mengerjakan soal, ada perintah A ∩ B atau A U B, kita bingung. Manakah yang irisan dan mana gabungan.

Kalau kak Hinda pribadi, untuk mengingat mana notasi irisan, mana notasi gabungan. Triknya adalah..

Gab’U’ngan berarti notasinya U.

Sebaliknya berarti irisan.

3. Komplemen

Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota himpunan semesta (S), tapi bukan anggota himpunan A .

Himpunan komplemen dari A dinotasikan dengan A^c.

Contoh:

S adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 10.

A adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 8.

Tentukan komplemen dari A!

Jawab:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A = {1, 3, 5, 7}

Dengan demikian A^c = {0, 2, 4, 6, 8, 9}

Sudah paham?

Jika belum nanti kakak akan memberikan contoh lagi di bagian akhir. Jadi, baca sampai akhir ya?

4. Selisih

Selisih himpunan P dan Q adalah himpunan yang anggotanya adalah semua anggota dari P tapi bukan anggota dari Q.

Sama dengan operasi hitung pada bilangan, operasi selisih pada himpunan juga dilambangkan dengan tanda ‘–‘.

Misalnya selisih himpunan P dengan Q ditulis menjadi P – Q.

Perhatikan contoh di bawah ini!

Jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}

P = {1, 2, 3, 4, 6, 12} dan Q = {1, 3, 5, 15}

Tentukan P – Q dan Q – P!

Jawab:

• P – Q
  • Anggota P yang tidak menjadi anggota Q adalah 2, 4, 6, 12. Maka P – Q = {2, 4, 6, 12}.
• Q – P
  • Anggota Q yang tidak menjadi anggota P adalah 5, 15. Maka Q – P = {5, 15}

Kumpulan contoh soal himpunan

Contoh 1

Misal, A = { 1, 2, 3}. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan A.

Jawaban:

n (A) = 3

maka

N = 2ⁿ

N = 2³

N = 8

Jika disebutkan, berikut adalah himpunan bagian dari A; {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {2}, {3}, {1}, { }

Contoh 2

Jika diketahui S adalah himpunan bilangan asli kurang dari 15. Sedangkan P adalah himpunan faktor dari 8 dan Q adalah himpunan faktor dari 7. Tentukanlah:

• n (S)
• n (P)
• n (Q)
• Banyaknya himpunan bagian dari P dan Q!
• Sebutkan himpunan bagian dari P dan Q!
• Tentukan irisan, gabungan, dan komplemen dari P dan Q!
• P – Q
• Q – P

Jawab:

Sebelum mengerjakan soalnya, kita tulis dulu informasi yang ada di soal dalam notasi himpunan.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

P = {1, 2, 4, 8}

Q = {1, 7}

Maka kita tinggal menjawab:

• n(S) = 14
• n(P) = 4
• n(Q) = 2
• Banyaknya himpunan bagian dari P adalah
  • N = 2⁴ = 16
• Banyaknya himpunan bagian dari Q adalah
  • N = 2² = 4
• Himpunan bagian dari P adalah:
  • 1 4 6 4 1
  • 1 untuk Ø
  • 4 untuk yang jumlah anggota himpunannya 1, yakni: {1}, {2}, {4}, {8}
  • 6 untuk yang jumlah anggota himpunannya 2, yakni: {1, 2}, {1, 4}, {1, 8}, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}
  • 4 untuk yang jumlah anggota himpunannya 3, yakni: {1, 2, 4}, {1, 2, 8}, {1, 4, 8}, {2, 4, 8}
  • 1 untuk yang jumlah anggota himpunannya 4, yakni: {1, 2, 4, 8}
  • Jika ditulis secara bersama-sama menjadi:
  • Ø, {1}, {2}, {4}, {8}, {1, 2}, {1, 4}, {1, 8}, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}, {1, 2, 4}, {1, 2, 8}, {1, 4, 8}, {2, 4, 8}, {1, 2, 4, 8}.
  • Total ada 16 himpunan bagian.
• Himpunan bagian dari Q adalah:
  • 1 2 1
  • 1 untuk { Ø }
  • 2 untuk {1}, {7}
  • 1 untuk {1,7}
  • Jika ditulis keseluruhan menjadi: { Ø }, {1}, {7}, {1,7}
  • Jumlah totalnya adalah 4
• P ∩ Q = {1}
• P U Q = {1, 2, 4, 7, 8}
• P^c = {3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
• Q^c = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
• P – Q = {2, 4, 8}
• Q – P = {7}

Itulah kumpulan informasi yang dapat kak Hinda rangkum dalam materi himpunan yang berisi pengertian, simbol himpunan, rumus himpunan, contoh soal himpunan, jenis-jenis himpunan, hingga operasi himpunan.

Semoga bermanfaat ya teman-teman!